Question

用長為16米的籬笆借助一墻角圍成一個矩形ABCD（如圖所示），在P處有一棵樹距兩墻的距離分別為a（0＜a＜12）米和4米，現需要將此樹圈進去，設矩形ABCD的面積為y（平方米），長BC為x（米）．
（1）設y=f（x），求y=f（x）的解析式并指出其定義域；
（2）試求y=f（x）的最大值與最小值之差g（a）．

Answer 1

分析：（1）要使樹被圈進去，則ABCD中BC≥a，CD≥4，由此可確定函數的變量的范圍．設長BC=x米，寬CD=（16-x）米，所以面積y=f（x）=x（16-x）=-x²+16x；
（2）由（1）得，y=f（x）=-x²+16x=-（x-8）²+64，x∈[a，12]，由于對稱軸x=8，根據0＜a＜12，故要進行分類討論：即8≤a＜12；4≤a＜8；0＜a＜4，從而可求y=f（x）的最大值與最小值之差g（a）．

解答：解：（1）要使樹被圈進去，則ABCD中BC≥a，CD≥4，
因為籬笆長為16米，所以當長BC=x米時，寬CD=（16-x）米．
由于BC≥a，CD≥4，故a≤x≤12，
所以面積y=f（x）=x（16-x）=-x²+16x，其定義域為x∈[a，12]
（2）由（1）得，y=f（x）=-x²+16x=-（x-8）²+64，x∈[a，12]
對稱軸x=8，又因為0＜a＜12
所以，當8≤a＜12時，y_max=-a²+16a，y_min=48，此時g（a）=-a²+16a-48；
當4≤a＜8時，y_max=64，y_min=48，此時g（a）=64-48=16；
當0＜a＜4時，y_max=64，y_min=-a²+16a，此時g（a）=a²-16a+64；
綜上：g(a)=

a2-16a+64   (0＜a＜4) 16(4≤a＜8) -a2+16a-48  (8≤a＜12)

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查二次函數最值的求解，解題的關鍵是讀懂題意，正確分類．