Question

以下有關平面向量的結論：
①

a

•

b

=

a

•

c

⇒

b

=

c

；
②(

a

+

b

)(

a

-

b

)=0⇒|

a

|=|

b

|；
③

OA

+x

OB

+y

OC

=

0

，且1+x+y=0⇒A，B，C三點共線；
④(

a

•

b

)•

c

=

a

•(

b

•

c

)；
⑤

a

•

b

=|

a•

b

|⇒

a

=

b

，
其中正確的結論有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據平面向量的數量積運算、模的運算性質和平面向量基本定理，對五個選項逐個加以判斷，并且結合舉反例和直接證明的方法，可得只有選項②、③是正確的，由此可得本題的答案．

解答：解：因為當

b

⊥

a

且

c

⊥

a

時，有

a

•

b

=

a

•

c

=0，但不能得出

b

=

c

的結論，故①不正確；
由(

a

+

b

)(

a

-

b

)=0，可得

a

2-

b

2=0，即

a

2=

b

2，所以|

a

|=|

b

|成立，故②正確；
根據

OA

+x

OB

+y

OC

=

0

，得

OA

=-x

OB

-y

OC

，
∵1+x+y=0，∴

OA

=-x

OB

+(1+x)

OC

，
化簡得

OA

-

OC

=x（

OC

-

OB

），即

CA

=x

BC

，可得A，B，C三點共線故③正確；
因為(

a

•

b

)•

c

=λ

c

，是一個與

c

共線的向量，而

a

•(

b

•

c

)=μ

a

，是一個與

a

共線的向量．
所以等式(

a

•

b

)•

c

=

a

•(

b

•

c

)不一定成立，故④不正確；
若

a

•

b

=|

a•

b

|，說明向量

a

、

b

共線且同向，不一定相等，故⑤不正確．
故正確的選項只有②③，2個
故答案為：B

點評：本題給出平面向量的幾個命題，叫我們找出其中的真命題，著重考查了平面向量的數量積運算、模的運算性質和平面向量基本定理等知識，屬于基礎題．