Question

（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點O，短軸長為，其焦點F（c，0）（c＞0）對應的準線l與x軸交于A點，|OF|=2|FA|，過A的直線與橢圓交于P、Q兩點.

   （1）求橢圓的方程；（2）若，求直線PQ的方程；  （3）設，過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M. 求證F、M、Q三點共線.

Answer 1

（1）   （2）

解析:

（1）由題意，設橢圓的方程為：

由已知得，解得橢圓的方程為：

（2）由（1）可得，準線l的方程為：

設直線PQ的方程為：

由方程組

依題意，則

 ①    ②    

由直線PQ的方程得，

 ③

又 ④         

由①②③④得，直線PQ的方程為

 ………………8分

（3）證明：

由題意可得方程組 

而  ，又∵直線FM、直線FQ有公共點F      故F、M、Q三點共線.