Question

漁場中魚群的最大養殖量是ｍ噸，為保證魚群的生長空間，實際養殖量不能達到最大養殖量，必須留出適當的空閑量。已知魚群的年增長量ｙ噸和實際養殖量ｘ噸與空閑率乘積成正比，比例系數為ｋ（ｋ＞０）．
寫出ｙ關于ｘ的函數關系式，指出這個函數的定義域；
求魚群年增長量的最大值；
當魚群的年增長量達到最大值時，求ｋ的取值范圍．

Answer 1

（１）ｙ＝ｋｘ（１－）定義域為{x|０＜ｘ＜ｍ。
（２）魚群年增長量的最大值為．
（３）０＜ｋ＜２．

試題分析：
思路分析：函數應用問題，要注意“審清題意，設出變量，列出關系式，解決數學問題，答”等解題步驟。
（１）注意理解空閑量為ｍ－ｘ噸，空閑率為。
（２）利用二次函數的性質。
（３）特別注意利用“實際養殖量和年增長量之和小于最大養殖量”，建立不等式。
解：（１）因魚群最大養殖量為ｍ噸，實際養殖量為ｍ噸，則空閑量為（ｍ－ｘ）噸，
空閑率為，依題意，魚群增長量為ｙ＝ｋｘ（１－），
定義域為{x|０＜ｘ＜ｍ。
（２）當ｘ＝ｍ／２時， 
即魚群年增長量的最大值為．
（３）由于實際養殖量和年增長量之和小于最大養殖量，有０＜ｘ＋ｙ＜ｍ成立，
即０＜，得－２＜ｋ＜２，但ｋ＞０，０＜ｋ＜２．
點評：中檔題，函數應用問題，要注意“審清題意，設出變量，列出關系式，解決數學問題，答”等解題步驟。由于是二次函數，處理最值問題時可依二次函數求最值得方法來求，而實際養殖量和年增長量之和小于最大養殖量應是常識，在閱讀題意時要得到這個隱含條件．