Question

過點P（-1，0）作曲線C：y=e^x的切線，切點為T₁，設T₁在x軸上的投影是點H₁，過點H₁再作曲線C的切線，切點為T₂，設T₂在x軸上的投影是點H₂，…，依次下去，得到第n+1（n∈N）個切點T_n+1．則點T_n+1的坐標為________．

Answer 1

（n，eⁿ）
分析：設T₁（x₁，），可得切線方程代入點P坐標，可解得x₁=0，即T₁（0，1），可得H₁（0，0），在寫切線方程代入點H₁（0，0），可得T₂（1，e），H₂（1，0），…
由此可得推得規律，從而可得結論．
解答：設T₁（x₁，），此處的導數值為，
故切線方程為y-=（x-x₁），代入點P（-1，0）
可得0-=（-1-x₁），解得x₁=0，即T₁（0，1），H₁（0，0），
同理可得過點H₁再作曲線C的切線方程為y-=（x-x₂），代入點H₁（0，0），
可得0-=（0-x₂），可解得x₂=1，故T₂（1，e），H₂（1，0），
…
依次下去，可得T_n+1的坐標為（n，eⁿ）
故答案為：（n，eⁿ）
點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線的方程，歸納推理是解決問題的關鍵，屬中檔題．