Question

已知正四棱柱中，是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）在線段上是否存在點，當時，平面平面？若存在，求出的值并證明；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析

試題分析：（1）連結交于，連結，在正四棱柱中底面為正方形，所以可知為的中點，因為是的中點，由中位線可得∥.根據線面平行的判定定理即可證得平面。（2）由正四棱柱可知側棱垂直與底面，從而可得側棱垂直與，因為底面為正方形可得，由線面垂直的判定定理可證得平面，從而得證。（3）取的中點，連結，可證得為平行四邊形，從而得到，當為中點時，同理可證的為平行四邊形，從而可得，由平行公理可知，在證也為平行四邊形，從而可證得，根據面面平行的判定定理可證得平面平面，此時。

解：（1）在正四棱柱中,連結交于，連結.
因為為正方形，
所以為中點.                                        1分
在中，
因為為中點，
所以∥.                                          2分
因為平面，平面，                 4分
所以∥平面.                                    5分
（2） 因為為正方形，
所以.          6分
因為平面，
所以.         7分
因為,      8分
所以平面.    9分
因為，
所以.          10分
（3）當，即點為線段的中點時，平面平面. 11分     
因為且，
所以四邊形是平行四邊形.             
所以.                                          12分
取的中點，連結.
因為為中點，
所以且，
所以四邊形是平行四邊形.                        
所以.                                         13分
同理.
所以.
因為，，
所以平面平面.                              14分