Question

如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，側面PAD是等邊三角形，其中，,平面底面，是的中點．
 
(1)求證：//平面；
(2)求證：；
(3)求與平面所成角的正弦值。

Answer 1

(1)詳見解析(2)詳見解析(3).

試題分析：（1）證BE∥平面PAD，可先構建平面EBM，證明平面EBM∥平面APD，由面面平行，得到線面平行；
（2）取PD的中點F，連接FE，根據線面垂直的判定及性質，及等腰三角形性質，結合線面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC；
（3）證明AF⊥平面PCD，連接DE，則∠BDE為BD與平面PDC所成角．.
試題解析：（1）證明：如圖，

取CD的中點M，連接EM、BM，則四邊形ABMD為矩形
∴EM∥PD，BM∥AD；
又∵BM∩EM=M，
∴平面EBM∥平面APD；
而BE?平面EBM，
∴BE∥平面PAD；
（2）證明：取PD的中點F，連接FE，則FE∥DC，BE∥AF，
又∵DC⊥AD，DC⊥PA，
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥AF，DC⊥PD，
∴EF⊥AF，
在Rt△PAD中，∵AD=AP，F為PD的中點，
∴AF⊥PD，又AF⊥EF且PD∩EF=F，
∴AF⊥平面PDC，又BE∥AF，
∴BE⊥平面PDC，
∴CD⊥BE；
（3）解：∵CD⊥AF，AF⊥PD，CD∩PD=D，
∴AF⊥平面PCD，
連接DE，則∠BDE為BD與平面PDC所成角．
在直角△BDE中，設AD=AB=a，則BE=AF=，BD=，∴sin∠BDE=．