Question

【題目】已知點是拋物線的焦點, 若點在上,且．

（1）求的值；

（2）若直線經過點且與交于（異于）兩點, 證明: 直線與直線的斜率之積為常數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）根據拋物線焦半徑公式及點在上列方程組可求得的值；（2）設， ，設直線的方程為，聯立方程,消得, ，根據韋達定理可得．

試題解析：（1）由拋物線定義知,則,解得,又點在上, 代入,得,解得．

（2）由（1）得,當直線經過點且垂直于軸時, 此時,

則直線的斜率,直線的斜率,所以．當直線不垂直于軸時, 設,

則直線的斜率,同理直線的斜率,設直線的斜率為,且經過,則 直線的方程為．聯立方程,消得, ,

所以,故,

綜上, 直線與直線的斜率之積為．