Question

【題目】的內角、、的對邊分別為，，，點為的中點，已知，，.

（1）求角的大小和的長；

（2）設的角平分線交于，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得tanC，結合范圍C∈（0，π），可求C的值，由余弦定理可得BD的值．

（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，可求∠DBC，可得S△DBC，利用三角形的面積公式可求S△BCES△CED，代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，即可解得S△CED的值．

（1）∵由題意可得：sinC+1﹣2sin20，

∴sinC+cos（A+B）＝0，

又A+B＝π﹣C，

∴sinC﹣cosC＝0，可得tanC，

∵C∈（0，π），

∴C，

∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝3+4﹣21，

解得：BD＝1，

（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，

∴∠DBC，

∴S△DBCBDBC，

∵CE是∠BCD的角平分線，

∴∠BCE＝∠DCE，

在△CEB和△CED中，S△BCE，

S△CED，

可得：，

∴S△BCES△CED，

∴代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，（1）S△CED，

∴S△CED（2）＝23．