Question

【題目】已知函數 （ 為實常數）．

（Ⅰ）若 ，作函數 的圖像；

(Ⅱ)設在區間[1,2]上的最小值為 ，求的表達式；

（Ⅲ）設 ，若函數在區間[1,2]上是增函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）根據絕對值定義將函數化為分段函數形式，并根據二次函數性質畫圖（2）先根據a的值分類討論函數單調性：若 ，函數單調遞減；若 ，函數單調遞增；若 ，函數先減后增；最后求出對應情況下最小值（3）由題意得函數導函數在[1,2]上恒非負，根據導函數為單調函數得不等式組，解不等式組可得實數的取值范圍．

試題解析：解：（Ⅰ）當時，．

作圖

（Ⅱ）當時，．

若，則在區間上是減函數，

．

若，則，圖像的對稱軸是直線．

當時，在區間上是減函數，

當，即時，在區間上是增函數，

．

當，即時，，

當，即時，在區間上是減函數

．綜上可得 ．

（Ⅲ）當時，，在區間上任取，，且，

則

．

因為在區間上是增函數，所以，

因為，，所以，即，

當時，上面的不等式變為，即時結論成立．

當時，，由得，，解得，

當時，，由得，，解得，

所以，實數的取值范圍為．