Question

P為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若使△F₁PF₂為直角三角形的點(diǎn)P共有8個(gè)，則橢圓離心率的取值范圍是

（

2

2

，1）

．

Answer 1

分析：由于分別過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓的交點(diǎn)P可構(gòu)成四個(gè)直角三角形．欲使△F₁PF₂為直角三角形的點(diǎn)P共有8個(gè)，由橢圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)P位于（0，b）或（0，-b）處時(shí)，∠F₁PF₂最大，必須∠F₁PF₂＞90°，此時(shí) cos∠F1PF2=

a2+a2-4c2

2a2

=

a2-2c2

a2

＜0，∴a＜

2

c，由此能夠推導(dǎo)出該橢圓的離心率的取值范圍．

解答：解：由題意可知，分別過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓的交點(diǎn)P可構(gòu)成四個(gè)直角三角形．
而當(dāng)點(diǎn)P位于（0，b）或（0，-b）處時(shí)，∠F₁PF₂最大，
由條件：欲使△F₁PF₂為直角三角形的點(diǎn)P共有8個(gè)，必須∠F₁PF₂＞90°，
故 cos∠F1PF2=

a2+a2-4c2

2a2

=

a2-2c2

a2

＜0，⇒a＜

2

c，
∴e=

c

a

＞

2

2

，
又∵0＜e＜1，∴1＞e＞

2

2

．
故答案為：(

2

2

，1)．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．