Question

【題目】橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)， 為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)滿足.

①證明： 為定值；

②設(shè)直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若成等差數(shù)列，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①.證明見解析；②. .

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代人橢圓方程，與離心率聯(lián)立方程組解得a.b,（2）①根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，代入橢圓方程化簡(jiǎn)可得，再求比值即可，②先根據(jù)成等差數(shù)列，得，再根據(jù)橢圓定義化簡(jiǎn)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得的值.

試題解析：（1）由得，

把點(diǎn)代入橢圓方程為，∴得，

∴，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由（1）知，

，

而，∴為定值；

②直線與橢圓聯(lián)立， 得，

，

設(shè)，則，

由①知，

∴，

∵成等差數(shù)列，

∴，即解得或，

又因?yàn)?/span>，所以.