Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，
（1）求平面PCD與平面ABCD所成銳二面角的大小；（2）求證：平面MND⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）由已知中PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD，我們易得到CD⊥AD，且CD⊥PD，故∠PDA即為平面PCD與平面ABCD所成銳二面角的平面角，解三角形PAD，即可求出∠PDA即為平面PCD與平面ABCD所成銳二面角的平面角的大小．
（2）取PD的中點(diǎn)E，連接AE，EN，由三角形中位線(xiàn)定理結(jié)合已知中M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，我們易證明AE∥MN，結(jié)合（1）的結(jié)論和等腰三角形性質(zhì)，根據(jù)線(xiàn)面垂直及面面垂直的判定定理，我們可以得到平面MND⊥平面PCD．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD?PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD
又∵AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD，
又∵PD?平面PAD，
∴CD⊥PD
故∠PDA即為平面PCD與平面ABCD所成銳二面角的平面角，
又∵在直角三角形PAD中，PA=AD
∴∠PDA=45°
即平面PCD與平面ABCD所成銳二面角為45°
（2）證明：取PD的中點(diǎn)E，連接AE，EN，如下圖所示

則EN∥CD∥AM，且EN=

1

2

CD=AM
∴四邊形AMNE為平行四邊形，故AE∥MN…①
由（I）中CD⊥平面PAD，得AE⊥CD
又∵三角形PAD為等腰直角三角形，
∴AE⊥PD
∵PD∩CD=D
∴AE⊥平面PCD
由①得：MN⊥平面PCD
又∵M(jìn)N?平面MND
∴平面MND⊥平面PCD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，求二面角關(guān)鍵問(wèn)題是要找到二面角的平面角，而證明面面垂直關(guān)系是要熟練掌握面面垂直的判定定理及證明步驟．