Question

如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為．

（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn),
記△的面積為，△（為原點(diǎn)）的面積為，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）的取值范圍是．

試題分析：（Ⅰ）解：依題意，當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角為   1分
則 ．                          2分
將  代入 ，
解得 ．                                    3分
所以橢圓的離心率為 ．                     4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），橢圓的方程可設(shè)為．          5分
設(shè)，．
依題意，直線不能與軸垂直，故設(shè)直線的方程為，將其代入
得 ．            7分
則 ，，
．                     8分
因?yàn)?，
所以 ，．              9分
因?yàn)?△∽△，
所以           11分
．                13分
所以的取值范圍是．                   14分
點(diǎn)評(píng)：中檔題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。對(duì)于三角形面積計(jì)算問題，注意應(yīng)用已有垂直關(guān)系及弦長(zhǎng)公式。本題應(yīng)用韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化了解題過程。