Question

（2012•許昌縣一模）選修4一5：不等式選講
設函數f（x）=|x-1|+|x-a|．
（I）若a=-1，解不等式，f（x）≥3；
（II）如果對于任意實數x，恒有f（x）≥2成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由函數f（x）=|x-1|+|x-a|，知當a=1時，不等式f（x）≥3等價于|x-1|+|x+1|≥3，根據絕對值的幾何意義能求出不等式f（x）≥3的解集．
（II）對?x∈R，f（x）≥2，只需f（x）的最小值大于等于2．當a≥1時，f（x）=|x-1|+|x-a|=

2x-a-1，x≥a a-1，1≤x＜a -2x+a+1，x＜1

，f（x）_min=a-1．同理，得當a＜1時，f（x）_min=1-a，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（I）∵函數f（x）=|x-1|+|x-a|，
∴當a=1時，不等式f（x）≥3等價于|x-1|+|x+1|≥3，
根據絕對值的幾何意義：
|x-1|+|x+1|≥3可以看做數軸上的點x到點1和點-1的距離之和大于或等于3，
則點x到點1和點-1的中點O的距離大于或等于

3

2

即可，
∴點x在-

3

2

或其左邊及

3

2

或其右邊，
即x≤-

3

2

或x≥

3

2

．
∴不等式f（x）≥3的解集為（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞)．
（II）對?x∈R，f（x）≥2，
只需f（x）的最小值大于等于2．
當a≥1時，f（x）=|x-1|+|x-a|=

2x-a-1，x≥a a-1，1≤x＜a -2x+a+1，x＜1

，
∴f（x）_min=a-1．
同理，得當a＜1時，f（x）_min=1-a，
∴

a≥1 a-1≥2

或

a＜1 1-a≥2

，
解得a≥3，或a≤-1，
∴a的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點評：本題考查含絕對值不等式的解法，考查實數的取值范圍，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，合理運用函數恒成立的性質進行等價轉化．