Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，E為AB的中點.將沿CE折起，使點B到達點F的位置，且平面CEF與平面ADCE所成的二面角為.

（1）求證：平面平面AEF；

（2）求直線DF與平面CEF所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）證明，，可得線面垂直，再利用線面垂直判定定理可證面面垂直；

（2）以為坐標原點，分別以的方向為軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系，求得和平面的一個法向量，再代入向量的夾角公式，即可得答案.

（1）證明：由題設得四邊形為正方形，

則，，

又，平面，平面，

∴平面.

又平面，

∴平面平面.

（2）由，，

得是二面角的平面角，即，

又，

∴為正三角形.

以為坐標原點，分別以的方向為軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，

從而，，，

設平面的一個法向量為，

則，即，

取，則，

設直線與平面CEF所成的角為，

則，

所以直線與平面CEF所成角的正弦值為.