Question

（2013•寧波模擬）已知F₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足

MF1

⊥

MF2

的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是

（O，

2

2

）

．

Answer 1

分析：根據(jù)垂直兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，可得M點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，半焦距c為半徑的圓．而M總在橢圓內(nèi)部，說明該圓內(nèi)含于橢圓，由此建立關(guān)于b、c的不等式，結(jié)合橢圓的平方關(guān)系化簡(jiǎn)整理即可得到橢圓離心率e的取值范圍．

解答：解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），可得F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）
∵

MF1

•

MF2

=0，
∴M點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，半焦距c為半徑的圓．
又∵M(jìn)點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，
∴該圓內(nèi)含于橢圓，可得c＜b，
平方得c²＜b²，即c²＜a²-c²．
∴e²=

c2

a2

＜

1

2

，可得離心率e滿足：0＜e＜

2

2

．
故答案為：（O，

2

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題給滿足指向橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的向量數(shù)量積為0，且該點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，求橢圓的離心率范圍，著重考查了橢圓的方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．