Question

（2013•寧波模擬）等差數(shù)列{a_n}中，2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，其前n項(xiàng)和為s_n
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足 b_n=

1

sn+1-1

，其前n項(xiàng)和為T_n，求證T_n＜

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a₁=1，d=2，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由a₁=1，d=2，知S_n=n²．從而得到b_n=

1

Sn+1-1

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），由此利用裂項(xiàng)求和法證明T_n＜

3

4

．

解答：解：（Ⅰ）等差數(shù)列{a_n}中，
∵2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，
∴

2a1+3a1+3d=11 2a1+2d=a1+d+a1+5d-4

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）∵a₁=1，d=2，
∴S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²．
∴b_n=

1

Sn+1-1

=

1

(n+1)2-1

=

1

n2+2n

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．