Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）.

（1）若函數，求函數的極值；

（2）討論函數在定義域內極值點的個數；

（3）設直線為函數的圖象上一點處的切線，證明：在區間上存在唯一的，使得直線與曲線相切.

Answer 1

【答案】（1）極大值；無極小值（2）當時，無極值點，當時，有兩個極值點；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據，得到求導，利用極值點的定義求解.

（2）得到（且），求導，令，分，，兩類討論求解.

（3）設在的圖象上的切點為，切線的方程為，設直線與曲線相切于點，根據導數值和函數值相等得到，再根據（1）中時的結論求解.

（1）因為函數，

所以，

所以，

令，解得，

當時，，當時，，

所以當時，極大值,無極小值

（2）（且），

，

令，，

①當，即當時，，此時，在和單調遞增，無極值點；

②當時，即當或時，

函數有兩個零點，，，

（ⅰ）當時，

因為，所以，

所以函數在單調遞增，在和上單調減，在上單調遞增，此時函數有兩個極值點；

（ⅱ）當時，

因為，

所以，此時，在和單調遞增，無極值點.

綜上所述，當時，函數無極值點，當時，函數有兩個極值點.

（3）因為，

所以函數的圖象上一點處的切線的方程可表示為

，

設直線與曲線相切于點，

因為，

所以，

消去并整理，得

，

由（1）可知，當時，函數在單調遞增，

又，，

所以函數在上有唯一的零點，又因為在單調遞增，

所以方程在上存在唯一的根，

故在區間上存在唯一的，使得直線與曲線相切.