Question

【題目】已知圓，直線過點(diǎn).

（1）若直線與圓相切，求直線的方程；

（2）若直線與圓交于， 兩點(diǎn)，求使得面積最大的直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或.

【解析】試題分析：(1)設(shè)直線的方程,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑,求出斜率,注意切線斜率不存在的情況; (2)設(shè)直線,由點(diǎn)到直線的距離公式及直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)公式,求出面積的表達(dá)式,由二次函數(shù)的最大值,求出斜率,得到直線的方程.

試題解析：

（1）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則直線的方程為，整理得.因?yàn)橹本�與圓相切，所以，解得，所以此時(shí)直線的方程為.

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，與圓相切，適合題意.

綜上，直線的方程為或.

（2）由（1）可知當(dāng)直線與圓相交時(shí)，它的斜率一定存在，設(shè)其方程為.

因?yàn)閳A心到直線的距離， ，所以的面積為

，所以當(dāng)時(shí)， 的面積取得最大值.

由，整理得，解得或.

所以直線的方程為或.

點(diǎn)睛: 本題主要考查了有關(guān)圓的相關(guān)知識(shí),屬于中檔題.思路: (1)由于點(diǎn)(5,0)在圓外,所以過點(diǎn)(5,0)作圓的切線一定有兩條,若假設(shè)直線的斜率存在,算出來只有一個(gè)值,則直線的斜率不存時(shí)也符合; (2)三角形的面積用來表示,開口向下的二次函數(shù)在對(duì)稱軸出取最大值,求出的值,得到直線的方程.