Question

設橢圓的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓和x軸正半軸于P，Q兩點，且AP：PQ=8：5．
（1）求橢圓的離心率；
（2）已知直線l過點M（-3，0），傾斜角為，圓C過A，Q，F三點，若直線l恰好與圓C相切，求橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出P，Q，F坐標，利用以及AP：PQ=8：5，求出P的坐標代入橢圓方程，即可求橢圓的離心率；
（2）利用直線l過點M（-3，0），傾斜角為，求出直線的方程，通過圓C過A，Q，F三點，直線l恰好與圓C相切，圓心到直線的距離等于半徑，求出a，b，c的值，即可求得橢圓方程．
解答：解：（1）設點Q（x，0），F（-c，0），P（x，y），其中，A（0，b）．
由AP：PQ=8：5，得，
即，得，…（2分）
點P在橢圓上，∴．①…（4分）
而，
∴．
∴．②…（6分）
由①②知2b²=3ac，
∴2c²+3ac-2a²=0．
∴2e²+3e-2=0，
∴． …（8分）
（2）由題意，得直線l的方程，即，
滿足條件的圓心為，
又a=2c，∴，∴O′（c，0）． …（10分）
圓半徑．              …（12分）
由圓與直線l：相切得，，…（14分）
又a=2c，∴．
∴橢圓方程為． …（16分）
點評：本題是中檔題，考查題意的離心率的求法，直線與圓的位置關系的應用，橢圓方程的求法，考查計算能力，轉化思想，常考題型．