Question

在△ABC中∠C=90°，AC=8，BC=6，以這個直角三角形的一條邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得到的幾何體的表面積．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：以三條邊分別為軸旋轉(zhuǎn)，得到不同的圓錐或者圓錐的組合體，分別計算表面積．

解答： 解：（1）當以AC邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時，得到的幾何體是一個圓錐，它的母線長為AB，底面圓半徑為BC=6．由勾股定理，得
AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10．
∴這時圓錐的表面積=π×6×10+π×6²=60π+36π=96π．
（2）當以BC邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時，得到的幾何體也是一個圓錐，它的母線長為AB=10，底面圓半徑為AC=8．
∴圓錐表面積=π×8×10+π×8²=80π+64π=144π．
（3）當以AB邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時，得到的幾何體是底面是同圓，母線長分別是AC和BC的兩個圓錐．
作CD⊥AB于D．則CD=

AC•BC

AB

=

8×6

10

=4.8．
∵以AC為母線的圓錐的側(cè)面積=π×4.8×8=

192

5

π，
以BC為母線的圓錐的側(cè)面積=π×4.8×6=

144

5

π，
∴所求幾何體的表面積=

192

5

π+

144

5

π=

336

5

π．

點評：本題考查了三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)得到的幾何體表面積的計算，實質(zhì)是圓錐的表面積的計算；關(guān)鍵是明確圓錐的母線長以及底面半徑．