Question

（2012•綿陽一模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若asinA=（a-b）sinB+csinC，
（I）求角C的值_：
（II） 若c=2，且sinC+sin（B-A）=3sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）通過正弦定理化簡表達式，利用余弦定理求出C的大小．
（2）通過三角形的內角和，以及兩角和的正弦函數，以及sinC+sin（B-A）=3sin2A，推出cosA=0，判斷三角形的形狀，求出a，b的值，然后求解三角形的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵asinA=（a-b）sinB+csinC，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，得a²=（a-b）b+c²，
即a²+b²-c²=ab．①
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
結合0＜C＜π，得C=

π

3

．    …（6分）
（Ⅱ）由 C=π-（A+B），得sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA，
∵sinC+sin（B-A）=3sin2A，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA，
整理得sinBcosA=3sinAcosA．  …（8分）
若cosA=0，即A=

π

2

時，△ABC是直角三角形，且B=

π

6

，
于是b=ctanB=2tan

π

6

=

2 3

3

，∴S_△ABC=

1

2

bc=

2 3

3

． …（10分）
若cosA≠0，則sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a．②
聯立①②，結合c=2，解得a=

2 7

7

，b=

6 7

7

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

2 7

7

×

6 7

7

×

3

2

=

3 3

7

．
綜上，△ABC的面積為

2 3

3

或

3 3

7

．…（12分）

點評：本題考查正弦定理與余弦定理的應用，解三角形的指數，考查分析問題解決問題的能力，計算能力．