Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，為的中點．

（1）證明：平面；

（2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：(1)根據等腰三角形性質得PO垂直AC，再通過計算，根據勾股定理得PO垂直OB，最后根據線面垂直判定定理得結論，(2)根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組解出平面PAM一個法向量，利用向量數量積求出兩個法向量夾角，根據二面角與法向量夾角相等或互補關系列方程，解得M坐標，再利用向量數量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據線面角與向量夾角互余得結果.

詳解：（1）因為，為的中點，所以，且.

連結.因為，所以為等腰直角三角形，

且，.

由知.

由知平面.

（2）如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.

由已知得取平面的法向量.

設，則.

設平面的法向量為.

由得，可取，

所以.由已知得.

所以.解得（舍去），.

所以.又，所以.

所以與平面所成角的正弦值為.