Question

16、甲、乙兩支籃球隊進行比賽，已知每一場甲隊獲勝的概率為0.6，乙隊獲得的概率為0.4，每場比賽均要分出勝負，比賽時采用三場兩勝制，即先取得兩場勝利的球隊勝出．
（Ⅰ）求甲隊以二比一獲勝的概率；
（Ⅱ）求乙隊獲勝的概率；
（Ⅲ）若比賽采用五場三勝制，試問甲獲勝的概率是增大還是減小，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）甲隊以二比一獲勝的概率，即前兩場中甲勝1場，第三場甲獲勝．由已知條件一場甲隊獲勝的概率為0.6，乙隊獲得的概率為0.4，結合獨立事件的概率公式易得到結果．
（2）乙隊獲勝分為兩種情況：一是2：0勝，一是2：1勝，可分別計算后相加得出結果．
（3）分別計算三場兩勝制甲的勝率和五場三勝制甲的勝率，并進行比較不難得到答案．

解答：解：（Ⅰ）甲隊以二比一獲勝，即前兩場中甲勝1場，第三場甲獲勝，其概率為P₁=C₂¹×0.6×0.4×0.6=0.288．
（Ⅱ）乙隊以2：0獲勝的概率為P'₂=0.4×0.4=0.16；
乙隊以2：1獲勝的概率為P''₂=C₂¹0.4×0.6×0.4=0.192
∴乙隊獲勝的概率為P₂=0.4²+C₂¹×0.4×0.6×0.4=0.16+0.192=0.352
（Ⅲ）若三場兩勝，則甲獲勝的概率P₃=0.6²+C₂¹×0.6×0.4×0.6=0.36+0.288=0.648
或P₃=1-P₂=1-0.352=0.648；
若五場三勝，
則甲獲勝的概率P'₃=0.6³+C₃²×0.6²×0.4×0.6+C₄²×0.6²×0.4²×0.6=0.216+0.2592+0.20736=0.68256
∵P₃＜P'₃，
∴采用五場三勝制，甲獲勝的概率將增大．

點評：若A事件發生的概率為P（A），B事件發生的概率為P（B），則
①A，B同時發生的概率為P（A）P（B）；
②A，B同時不發生的概率為P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）；
③A不發生B發生的概率為P（$\overline{A}$）P（B）；
④A發生B不發生的概率為P（A）P（$\overline{B}$）；