【題目】在平面直角坐標系
中，如圖所示，已知橢圓
的左、右頂點分別為
，
，右焦點為
.設過點
的直線
，
與此橢圓分別交于點
，
，其中
，
，
.
（1）設動點
滿足：
，求點的軌跡；
（2）設
，
，求點
的坐標；
（3）設
，求證：直線
必過
軸上的一定點（其坐標與
無關），并求出該定點的坐標.
【答案】(1) 
的軌跡為直線
. (2) 
(3) 直線
必過
軸上一定點
.
【解析】
（1）根據橢圓的標準方程可得
、
、
的坐標,設動點
.根據條件
,結合兩點間距離公式,化簡即可得解.
（2）根據
,
代入橢圓方程即可求得
、
的坐標.進而求得直線
與直線
的方程.聯立兩條直線方程即可求得交點
的坐標.
（3）設出直線與直線的方程,分別聯立橢圓方程即可表示出、的坐標.討論
與
,并分別求得
的值.即可求得所過定點的坐標.
（1）由題設得,
,
,
,設動點,
由
,
,,
代入化簡得.
故點的軌跡為直線
（2）由,
,
得
,則點
,
直線的方程為
,
由,
,
得
,則點
.
直線的方程為
,
由
.解方程組可得
即
（3）由題設知,直線
的方程為：
,直線
的方程為：
,
點
滿足
,
,
；
點
滿足
,
,
；
若,
且
,得
,
此時直線的方程為
,過點；
若,則
,直線
的斜率
,
直線
的斜率
,
所以
,所以直線過點.
因此直線必過軸上一定點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行，科學規劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設一個起點站，為了研究車輛發車間隔時間x與乘客等候人數y之間的關系，經過調查得到如下數據：
調查小組先從這6組數據中選取4組數據求線性回歸方程，再用剩下的2組數據進行檢驗．檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應的等候人數
，再求與實際等候人數y的差，若差值的絕對值不超過1，則稱所求方程是“恰當回歸方程”．
（1）若選取的是后面4組數據，求y關于x的線性回歸方程
，并判斷此方程是否是“恰當回歸方程”；
（2）為了使等候的乘客不超過35人，試用（1）中方程估計間隔時間最多可以設置為多少（精確到整數）分鐘？
附：對于一組數據（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的中心在坐標原點，離心率等于
，它的一個長軸端點恰好是拋物線
的焦點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知
、
（
）是橢圓上的兩點，
是橢圓上位于直線
兩側的動點，且直線
的斜率為.
①求四邊形APBQ的面積的最大值；
②求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（2014·長春模擬)對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進行了6次測試,測得他們的最大速度(m/s)的數據如下表：
甲 | 27 | 38 | 30 | 37 | 35 | 31 |
乙 | 33 | 29 | 38 | 34 | 28 | 36 |
(1)畫出莖葉圖.
(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數據的平均數、方差,并判斷選誰參加比賽更合適?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】國際奧委會將于2017年9月15日在秘魯利馬召開130次會議決定2024年第33屆奧運會舉辦地。目前德國漢堡、美國波士頓等申辦城市因市民擔心賽事費用超支而相繼退出。某機構為調查我國公民對申辦奧運會的態度，選了某小區的100位居民調查結果統計如下:
（1）根據已有數據，把表格數據填寫完整；
（2）能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認為不同年齡與支持申辦奧運無關？
（3）已知在被調查的年齡大于50歲的支持者中有5名女性，其中2位是女教師,現從這5名女性中隨機抽取3人，求至多有1位教師的概率.
附: 
， 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形CDEF為正方形，四邊形ABCD為梯形，
，
，
，
平面ABCD．
求BE與平面EAC所成角的正弦值；
線段BE上是否存在點M，使平面
平面DFM？若存在，求
的值；若不存在，請說明理由．
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