Question

已知橢圓過和點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點的直線與橢圓交于兩點，且，求直線的方程．

Answer 1

（1）;（2）．

解析試題分析：（1）由已知將已知兩點的坐標代入橢圓Ｇ的方程中，可得到關于的方程組，解此方程組就可求得的值，進而就可寫出橢圓Ｇ的方程．（２）首先注意到由題意可得到直線的斜率存在，且．從而可用斜截式設出直線的方程，代入橢圓Ｇ的方程消元得到一個一元二次方程，則此方程一定有兩個不同的解，所以，可得到的取值范圍；再由，得到，結合韋達定理可用的代數式表示出線段ＭＮ的中點的坐標，然后由就可求出的值，從而求得直線的方程．
試題解析：（1）因為橢圓過點和點．
所以，由，得．
所以橢圓的方程為       4分
（2）顯然直線的斜率存在，且．設直線的方程為．
由消去并整理得，         5分
由，            7分
設，，中點為，
得，        8分
由，知，
所以，即．
化簡得，滿足．所以        12分
因此直線的方程為        14分
考點：１．橢圓的的方程；２．直線與橢圓的位置關系．