Question

函數的定義域為（0，+∞）（a為實數）．
（1）當a=-1時，求函數y=f（x）的值域（不必說明理由）；
（2）若函數y=f（x）在[1，+∞）定義域上是增函數，求負數a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若不等式f（m•4^x+1）≥f（2^x）（m＞0，且m為常數）在x∈（0，+∞）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵的定義域為（0，+∞），a=-1，
∴f（x）=2x+=2，
當且僅當2x=，x=時取等號，
∴函數y=f（x）的值域為； …（2分）
（2）函數y=f（x）在[1，+∞）上是增函數，
則任取x₁，x₂∈（0.1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，
從而有
在[1，+∞）上成立
∴-2≤a＜0，
∴負數a的取值范圍是[-2，0）．…（5分）
（3）∵m＞0，x∈（0，+∞），
從而m•4^x+1＞1且2^x＞1，
從而又（2）可得：在x∈（0，+∞）上恒成立．
令，，
從而可得
∴實數m的取值范圍是{m|}．…（5分）
分析：（1）由的定義域為（0，+∞），a=-1，知f（x）=2x+=2，由此能求出函數y=f（x）的值域．
（2）函數y=f（x）在[1，+∞）上是增函數，任取x₁，x₂∈（0.1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，由此能求出負數a的取值范圍．
（3）m＞0，x∈（0，+∞），從而m•4^x+1＞1且2^x＞1，由此能求出實數m的取值范圍．
點評：本題考查函數的值域的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，綜合性強，難度大，考查運算推理能力和等價轉化思想，解題時要認真審題，注意均值不等式的合理運用．