Question

選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|2x-1|+|2x-3|
（1）解不等式f（x）≤5x+1；
（2）若g(x)=

1

f(x)+m

定義域為R，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對x分類討論，即可求得不等式f（x）≤5x+1的解集；
（2）利用g（x）=

1

f(x)+m

的定義域為R，可知f（x）+m=0在R上無解（或f（x）+m＞0在R上恒成立）即可求得f（x）_min，從而使問題得以解決．

解答：解：（1）原不等式等價于：

x＜ 1 2 9x≥3

①或

1 2 ≤x≤ 3 2 1≤5x

②或

x＞ 3 2 x≥-5

③，
解①得：

1

3

≤x＜

1

2

；
解②得：

1

2

≤x≤

3

2

；
解③得：x＞

3

2

；
因此不等式的解集為{x|x≥

1

3

}；
（2）由于g（x）=

1

f(x)+m

的定義域為R
∴f（x）+m=0在R上無解，
又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2即f（x）_min=2，
∴-m＜2，即m＞-2．
∴實數m的取值范圍（-2，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，對x分類討論是關鍵，考查分類討論思想與運算能力，屬于中檔題．