Question

如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿對角線AC將△ABC折起，使B點在平面ADC內的射影恰好落在AD上，求：

(1)異面直線AB與CD成的角；

(2)異面直線AB與CD的距離；

(3)二面角B－AC－D的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解 如上圖，設B在平面ADC內的射影為F， 則BF⊥平面ADC， 由題意，F在AD上，過F作FE⊥AC于E，連結BE， 則AC⊥BE(三垂線定理)． 所以∠BEF為二面角B－AC－D的平面角．設． (1)∵ BF⊥平面ADC，又AD⊥DC， ∴ AB⊥CD(三垂線定理)． ∴ 異面直線AB與CD成角． (2)過D在平面ABD內作DH⊥AB于H(如上圖)． ∵ CD⊥平面ABD， ∴ CD⊥DH． 因此DH為異面直線CD、AB的公垂線． 因為 AB·DH=BF·AD， 且AB=3，AD=BC=4， 又由BE·AC=AB·BC，知； ∴ AB與CD之間的距離為．