Question

已知a∈R，函數f(x)＝＋ln x－1.
(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；
(2)求f(x)在區間(0，e]上的最小值．

Answer 1

(1) x－4y＋4ln 2－4＝0   (2) 當a≤0時，函數f(x)在區間(0，e]上無最小值；
當0<a<e時，函數f(x)在區間(0，e]上的最小值為ln a；
當a≥e時，函數f(x)在區間(0，e]上的最小值為.

解：(1)當a＝1時，f(x)＝＋ln x－1，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞)．
因此f′(2)＝.
即曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線斜率為.
又f(2)＝ln 2－，
所以曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y－＝ (x－2)，
即x－4y＋4ln 2－4＝0.
(2)因為f(x)＝＋ln x－1，
x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝a.
①若a≤0，則f′(x)>0，函數f(x)在區間(0，e]上單調遞增，此時函數f(x)無最小值．
②若0<a<e，則當x∈(0，a)時，f′(x)<0，函數f(x)在區間(0，a)上單調遞減；
當x∈(a，e]時，f′(x)>0，函數f(x)在區間(a，e]上單調遞增，
所以當x＝a時，函數f(x)取得最小值ln a.
③若a≥e，則當x∈(0，e]時，f′(x)≤0，函數f(x)在區間(0，e]上單調遞減，
所以當x＝e時，函數f(x)取得最小值.
綜上可知，當a≤0時，函數f(x)在區間(0，e]上無最小值；
當0<a<e時，函數f(x)在區間(0，e]上的最小值為ln a；
當a≥e時，函數f(x)在區間(0，e]上的最小值為.