Question

（理）已知f（x）=ax++2-2a（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行．
（I）求a，b滿足的關系式；
（II）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（III）證明：…+＞（n∈N₊）

Answer 1

（Ⅰ）解：求導函數，可得，根據題意f′（1）=a-b=2，即b=a-2 …3分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）=ax++2-2a，
令g（x）=f（x）-2lnx=ax++2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）
則g（1）=0，g′（x）=
①當0＜a＜1時，，
若1＜x＜，則g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）減函數，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒不成立．
②a≥1時，，當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函數，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
綜上所述，所求a的取值范圍是[1，+∞） …8分
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知當a≥1時，f（x）≥2lnx在1，+∞）上恒成立．
取a=1得，令1得，
即
所以
上式中n=1，2，3，…，n，然后n個不等式相加得到…+＞（n∈N₊）…13分．
分析：（Ⅰ）求導函數，利用圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行，可得f′（1）=a-b=2，即可求a，b滿足的關系式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=ax++2-2a，構造新函數g（x）=f（x）-2lnx=ax++2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）則g（1）=0，g′（x）=，比較對應方程根的大小，進行分類討論，即可求得a的取值范圍；
（Ⅲ）當a≥1時，f（x）≥2lnx在1，+∞）上恒成立，再取a=1得，令1，從而可得，進而可得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查恒成立問題，考查不等式的證明，解題的關鍵是正確求出導函數，構造新函數，利用函數的單調性解題．