Question

已知動點P與雙曲線的兩個焦點F₁，F₂的距離之和為定值，
且cos∠F₁PF₂的最小值為－.
（1）求動點P的軌跡方程；（6分）
（2）是否存在直線l與P點軌跡交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線
平分？若存在，求出直線l的斜率k的取值范圍，若不存在說明理由.

Answer 1

解: (1)∵，
∴c＝.設|PF₁|＋|PF₂|＝2a(常數＞0)，------2分
2＞2c＝2，∴＞
由余弦定理有cos∠F₁PF₂＝
＝＝－1
∵|PF₁||PF₂|≤()²＝²，
∴當且僅當|PF₁|＝|PF₂|時，|PF₁||PF₂|取得最大值a².
此時cos∠F₁PF₂取得最小值-1，----------4分
由題意－1＝－，解得a²＝4，
∴P點的軌跡方程為------------6分
（2）由（1）知p點軌跡為橢圓，顯然直線l的斜率k存在，
設l的直線方程為   ------------7分
由
設l與橢圓交于不同兩點
為方程①的兩個不同根

解得： ②------------9分
又 且MN被直線x=－1平分

代入②解不等式 ，解得
∴存在直線l滿足條件，l的斜率k的范圍是
------------12分

略