Question

【題目】已知函數f（x）=ex+ax﹣1（e為自然對數的底數）． （Ⅰ）當a=1時，求過點（1，f（1））處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；
（Ⅱ）若f（x）≥x2在（0，1）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）當a=1時，f（x）=ex+x﹣1，f（1）=e，f'（x）=ex+1，f'（1）=e+1， 函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣e=（e+1）（x﹣1），即y=（e+1）x﹣1，
設切線與x軸、y軸的交點分別為A、B，
∴A ，B（0，﹣1），
∴ ，
∴過點（1，f（1））處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為 ．
（II）由f（x）≥x2得 ，
令h（x）= ， ，
令k（x）=x+1﹣ex…（6分）k'（x）=1﹣ex ，
∵x∈（0，1），∴k'（x）＜0，
∴k（x）在（0，1）上是減函數，∴k（x）＜k（0）=0．
因為x﹣1＜0，x2＞0，所以 ，
∴h（x）在（0，1）上是增函數．
所以h（x）＜h（1）=2﹣e，所以a≥2﹣e
【解析】（I）當a=1時，f（x）=ex+x﹣1，根據導數的幾何意義可求得在點（1，f（1））處的切線的斜率，再由點斜式即可得切線方程，分別求出切線與x軸、y軸的交點A、B，利用直角三角形的面積公式即可求得；（II）將f（x）≥x2在（0，1 ）上恒成立利用參變量分離法轉化為 在（0，1 ）上恒成立，再利用導數研究不等式右邊的函數的單調性，從而求出函數的最大值，即可求出a的取值范圍．