Question

已知S_n是數列{a_n}的前n項和，a_n＞0，Sn=

a 2 n +an

2

，n∈N^*，
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b₁=2，bn+1=2an+bn，求b_n．

Answer 1

分析：（1）先利用S₁=a₁求得a₁，再利用a_n=S_n-S_n-1求得當n≥2時a_n-a_n-1=1，判斷出{a_n}是a₁=1，公差為1的等差數列，進而利用等差數列的性質求得數列的前n項的和．
（2）把（1）中求得的a_n代入bn+1=2an+bn整理可求得b_n+1-b_n=2ⁿ，進而用疊加法求得數列{b_n}的通項公式．

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，S₁=a₁=

a 2 1 +a1

2

∴a₁²-a₁=0．由a₁＞0，
得a₁=1，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

a 2 n +an

2

-

a 2 n-1 +an-1

2

整理得a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0，?（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
由a_n＞0，只有a_n-a_n-1-1=0，即a_n-a_n-1=1
所以{a_n}是a₁=1，公差為1的等差數列，an=n， Sn=

n2+n

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn+1-bn=2an=2ⁿ
所以（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+（b₄-b₃）++（b_n-b_n-1）=2¹+2²+2³++2^n-1
即b_n-b₁=2ⁿ-2，又b₁=2，所以b_n=2ⁿ．

點評：本題主要考查了等差數列的前n項的和．解題的關鍵是利用a_n=S_n-S_n-1得出數列的遞推式．