Question

（本題滿分16分）已知定義在上的函數，其中為常數．
（1）若是函數的一個極值點，求的值；
（2）若函數在區間上是增函數，求的取值范圍；
（3）若函數，在處取得最大值，求正數的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因為是函數的一個極值點，
所以，即，………2分
經檢驗，當時，是函數的一個極值點.   ………3分
（2）由題，在恒成立，                ………5分
即在恒成立，所以，             ………6分
又因為在恒成立上遞減，所以當時，，    ………7分
所以.                                          ………8分
（3）由題，在上恒成立且等號必能取得，
即-----（*）在上恒成立且等號必能取得，………10分
當時，不等式（*）顯然恒成立且取得了等號                    ………11分
當時，不等式（*）可化得，所以 ………12分
考察函數
令，則，所以，
因為函數在上遞增，所以當時，          ………14分
所以，又因為，所以.                          ………16分

解析