Question

在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）設函數f(x)=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

，當f（B）取最大值

3

2

時，判斷△ABC的形狀；
（Ⅲ）求函數的最小正周期和最大值及最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，將已知的等式代入求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（Ⅱ）將函數解析式兩項分別利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，表示出f（B），根據A的度數，得出B的范圍，求出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質求出f（B）取得最大值時B的度數，可得出此時C的度數，進而判斷出此三角形為等邊三角形；
（Ⅲ）由第二問得出的函數解析式，找出ω的值，代入周期公式，即可求出函數的最小正周期；根據正弦函數的值域為[-1，1]，求出函數的值域，即可得到函數的最小值與最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

=sin（x+

π

6

）+

1

2

，
∴f（B）=sin（B+

π

6

）+

1

2

，
∵A=

π

3

，∴B∈（0，

2π

3

），
∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
∴當B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時，f（B）有最大值是

3

2

，
又∵A=

π

3

，∴C=

π

3

，
∴△ABC為等邊三角形；
（Ⅲ）∵ω=1，
∴T=2π；
∵-1≤sin（x+

π

6

）≤1，
∴-

1

2

≤sin（x+

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，
則函數的最大值為

3

2

，最小值為-

1

2

．

點評：此題考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及三角函數的周期性及其求法，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．