Question

定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓．
（1）若橢圓，判斷C₂與C₁是否相似？如果相似，求出C₂與C₁的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓C_b的方程；若在橢圓C_b上存在兩點M、N關于直線y=x+1對稱，求實數b的取值范圍？
（3）如圖：直線y=x與兩個“相似橢圓”和分別交于點A，B和點C，D，試在橢圓M和橢圓M_λ上分別作出點E和點F（非橢圓頂點），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）分別求出特征三角形是腰長為a 和底邊長為2c，從而得到橢圓的相似比．
（2）設出橢圓C_b的方程，直線l_MN的方程，根據兩點關于直線對稱的性質，求出直線l_MN的方程，根據直線l_MN與橢圓C_b有兩個不同的交點，判別式大于零，求得實數b的取值范圍．
（3）作法：過原點作直線y=kx（k≠1），交橢圓M和橢圓M_λ于點E和點F，則△CDF和△ABE即為所求相似三角形，且相似比為λ．
解答：解：（1）橢圓C₂與C₁相似． 因為橢圓C₂的特征三角形是腰長為a=4，底邊長為2c=的等腰三角形，
而橢圓C₁的特征三角形是腰長為2，底邊長為的等腰三角形，因此兩個等腰三角形相似，且相似比為2．
（2）橢圓C_b的方程為：，
設l_MN：y=-x+t，點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點為（x，y），
則，所以5x²-8tx+4（t²-b²）=0，則．
因為中點在直線y=x+1上，所以有  ，，即直線l_MN的方程為：，
由題意可知，直線l_MN與橢圓C_b有兩個不同的交點，
即方程有兩個不同的實數解，
所以，即．
（3）作法：過原點作直線y=kx（k≠1），交橢圓M和橢圓M_λ于點E和點F，則△CDF和△ABE即為所求相似三角形，且相似比為λ．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，兩點關于直線對稱的性質，求直線MN的方程是解題的難點．