Question

【題目】給定函數，若對于定義域中的任意，都有恒成立，則稱函數為“爬坡函數”．

（1）證明：函數是爬坡函數；

（2）若函數是爬坡函數，求實數m的取值范圍；

（3）若對任意的實數b，函數都不是爬坡函數，求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）或（3）

【解析】

試題分析：（1）利用定義直接判斷f（x）-≥0恒成立即可；（2）由題意可知，4x+m2x+1+2m2﹣4≥0恒成立，利用換元思想，設=t，則t＞0，上式變為，分別討論對稱軸，求出函數的最小值即可；（3）由題意可知，對任意的實數b，存在x，使得，相當于f（x）-x=0有兩不相等的實根，得出，即-b+1-4c＞0對任意的實數b恒成立，在利用二次函數的性質可知

試題解析：（1）∵，

∴f（x）≥x恒成立，即得函數f（x）=x2+1是爬坡函數；

（2）由題意可知，4x+m2x+1+x+2m2﹣4≥x恒成立，

∴4x+m2x+1+2m2﹣4≥0恒成立．

設2x=t，則t＞0，上式變為t2+2mt+2m2﹣4≥0，

設g（t）=t2+2mt+2m2﹣4=（t+m）2+m2﹣4（t＞0）

①若﹣m＞0，則，解得m≤﹣2；

②若﹣m≤0，則g（0）=2m2﹣4≥0，解得；

綜上所述，m的取值范圍是m≤﹣2或；

（3）由題意，對任意的實數b，存在x，使得，

即，

故，即b2﹣b+1﹣4c＞0對任意的實數b恒成立，

∴，解得．