Question

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為 （φ為參數），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=4sinθ
（Ⅰ）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知曲線C3的極坐標方程為θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，點A是曲線C3與C1的交點，點B是曲線C3與C2的交點，且A，B均異于原點O，且|AB|=4 ，求實數a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由曲線C1的參數方程為 （φ為參數），

消去參數得曲線C1的普通方程為（x﹣2）2+y2=4．

∵曲線C2的極坐標方程為ρ=4sinθ，

∴ρ2=4ρsinθ，

∴C2的直角坐標方程為x2+y2=4y，整理，得x2+（y﹣2）2=4．

（Ⅱ）曲線C1：（x﹣2）2+y2=4化為極坐標方程為ρ=4cosθ，

設A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），

∵曲線C3的極坐標方程為θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，點A是曲線C3與C1的交點，

點B是曲線C3與C2的交點，且A，B均異于原點O，且|AB|=4 ，

∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=|4sinα﹣4cosα|=4 |sin（ ）|=4 ，

∴sin（ ）=±1，

∵0＜α＜π，∴ ，

∴ ，解得

【解析】（Ⅰ）由曲線C1的參數方程消去參數能求出曲線C1的普通方程；曲線C2的極坐標方程化為ρ2=4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐標方程．（Ⅱ）曲線C1化為極坐標方程為ρ=4cosθ，設A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），從而得到|AB|=|ρ1﹣ρ2|=|4sinα﹣4cosα|=4 |sin（ ）|=4 ，進而sin（ ）=±1，由此能求出結果．