Question

【題目】如圖,在三棱柱中,⊥底面，底面為等邊三角形，,, ,分別為, 的中點.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角的余弦值；

（3）設平面與平面的交線為求證：與平面不平行.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）法一：取中點，連接，證明四邊形為平行四邊形，所以,即可證明；法二：取中點，連接，則,因為為平行四邊形，所以,證明平面平面延長交于點，連接,在中，為的中點，所以,

（2）求出平面A1EC的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出平面A1EC與平面ABC所成二面角的余弦值．

（3）法一：反證法，推得，與相交矛盾；法二：延長交于點，連接，得到兩平面的交線,，所以與平面不平行.

（1）證法1：

取中點，連接，則且，又且

所以四邊形為平行四邊形，所以,

又平面 平面,

所以平面 .

證法2：取中點，連接，則,

因為為平行四邊形，所以，,

所以平面平面,

所以平面,

證法3：延長交于點，連接,

在中，為的中點，所以,

又平面 平面,

所以平面.

（2）因為底面，,

所以底面,

又三角形為等邊三角形，為中點，所以,

以為原點，建立如圖所示所示的坐標系,

則，，，,

，,

設平面的法向量為，則,

令，則， ,

易知平面的一個法向量為 ,

則 ,

由圖可知，所求二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

（3）方法1：

假設與平面平行,

因為平面，平面平面，所以,

同理,

所以，與相交矛盾,

所以與平面不平行.

方法2：延長交于點，連接，則就是直線,

，所以與平面不平行.