Question

在下列函數中：
①y=|x+

1

x

|； 
②y=log₂x+log_x2（x＞0，且x≠1）；
③y=3^x+3^-x；
④y=x+

4

x

-2； 
⑤y=

x

+

4

x

-2，
其中最小值為2的函數是

 

．（填入正確命題的序號）

Answer 1

考點：基本不等式,命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：求出x＞0時的函數的最小值，結合函數的奇偶性得到函數y=|x+

1

x

|的最小值判斷①； 
分x＞1和0＜x＜1分析函數y=log₂x+log_x2的值域情況判斷②；
直接利用基本不等式求函數的最小值判斷③⑤；
分x＞0和x＜0分析函數的值域情況判斷④．

解答： 解：對于①，y=|x+

1

x

|為偶函數，當x＞0時，y=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2（當且僅當x=1時等號成立），
∴y=|x+

1

x

|的最小值為2； 
對于②，y=log₂x+log_x2，當x＞1時，y≥2，當0＜x＜1時，y=-（-log₂x-log_x2）≤-2；
對于③，y=3^x+3^-x=3x+

1

3x

≥2

3x• 1 3x

=2，
當且僅當3x=

1

3x

，即x=0時等號成立；
對于④，y=x+

4

x

-2，當x＜0時y＜0，函數的最小值不是2； 
對于⑤，y=

x

+

4

x

-2≥2

x • 4 x

-2=2，
當且僅當

x

=

4

x

，即x=4時取等號．
∴最小值為2的函數是①③⑤．
故答案為：①③⑤．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．