Question

已知兩函數f（x）=x²+2x，g（x）=-x²+a，當a=

 

時，f（x），g（x）的圖象有且只有一條公切線，該公切線的方程為

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：導數的概念及應用

分析：根據已知條件知f（x），g（x）的圖象只有一個公共點，所以方程x²+2x=-x²+a只有一個解，這樣便可求得a=-

1

2

，并求得公共點為（-

1

2

，-

3

4

）．而該點便是切點，所以通過求f′（x）便能得到該切線的斜率，由點斜式方程即可寫出公切線的方程．

解答： 解：要使f（x）與g（x）的圖象只有一條公切線，則需使f（x），g（x）圖象有一個公共點；
∴由f（x）=g（x）得，x²+2x=-x²+a，整理成：
2x²+2x-a=0，①，該方程只有一個解；
∴△=4+8a=0，∴a=-

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2

，帶入方程①得2x2+2x+

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2

=0；
解得，x=-

1

2

，f(-

1

2

)=-

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4

；
∴切點為(-

1

2

，-

3

4

)，f′（x）=2x+2，f′(-

1

2

)=1；
即切線的斜率為1；
∴切線方程為y+

3

4

=x+

1

2

；
即y=x-

1

2

．
故答案為：-

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2

，y=x-

1

2

．

點評：考查曲線的公共點和曲線方程形成方程組解的關系，一元二次方程解的情況和判別式△的關系，函數在切點處的導數值與切線斜率的關系，以及直線的點斜式方程．