Question

【題目】對于定義域相同的函數和，若存在實數，使，則稱函數是由“基函數，”生成的.

（1）若函數是“基函數，”生成的，求實數的值；

（2）試利用“基函數，”生成一個函數，且同時滿足：①是偶函數；②在區間上的最小值為.求函數的解析式.

Answer 1

【答案】(1) . (2)

【解析】

（1）根據基函數的定義列方程，比較系數后求得的值.（2）設出的表達式，利用為偶函數，結合偶函數的定義列方程，化簡求得，由此化簡的表達式，構造函數，利用定義法證得在上的單調性，由此求得的最小值，也即的最小值，從而求得的最小值，結合題目所給條件，求出的值，即求得的解析式.

解：（1）由已知得，

即，

得，所以.

（2）設，則.

由，得，

整理得，即，

即對任意恒成立，所以.

所以

.

設，，令，則，

任取，且

則，

因為，且

所以，，，故

即，所以在單調遞增，

所以，且當時取到“”.

所以，

又在區間的最小值為，

所以，且，此時，

所以