Question

【題目】設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項(xiàng)都不為0.求證:{an}為等差數(shù)列的充要條件是:對(duì)任何n∈N+,都有

Answer 1

【答案】見解析

【解析】分析：證明必要性，注意到相鄰兩項(xiàng)有重復(fù)元，考慮構(gòu)造裂項(xiàng)，而可以幫助構(gòu)造裂項(xiàng)，于是裂項(xiàng)相消即可證明；證明充分性，注意到相鄰兩式作差可分別得到，，，和，，的關(guān)系，然后得到，，的關(guān)系，利用等差數(shù)列中項(xiàng)公式可得是等差數(shù)列

詳解：先證必要性.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.

若d=0,則所述等式顯然成立.

若d≠0,

再證充分性.

依題意 ①

②-①

在上式兩端同乘a1an+1an+2,得a1=(n+1)an+1-nan+2. ③

同理可得a1=nan-(n-1)an+1. ④

③-④得2nan+1=n(an+2+an),即an+2-an+1=an+1-an,所以{an}是等差數(shù)列.