Question

已知不等式|1-kxy|＞|kx-y|．
（1）當k=1，y=2時，解關于x的不等式|1-kxy|＞|kx-y|；
（2）若不等式|1-kxy|＞|kx-y|對任意滿足|x|＜1，|y|＜1的實數x，y恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

（1）當k=1，y=2時，不等式|1-kxy|＞|kx-y|，即為|1-2x|＞|x-2|．
所以，1-4x+4x²＞x²-4x+4  等價于 x²＞1，所以，x∈（-∞，-1）∩（1，+∞）．
（2）由已知得|1-kxy|＞|kx-y|等價于|1-kxy|²＞|kx-y|² 等價于  1+k²x²y²＞k²x²+y²，
即（k²x²-1）（y²-1）＞0對任意滿足|x|＜1，|y|＜1的實數x，y 恒成立．
而y²＜1，所以y²-1＜0，故（k²x²-1）（y²-1）＞0，等價于 k²x²-1＜0．
于是命題轉化為k²x²-1＜0對任意滿足|x|＜1的實數x恒成立．
當x=0時，易得k∈R；
當x≠0時，有k²＜

1

x2

對任意滿足|x|＜1，x≠0的實數x恒成立．
由0＜|x|＜1 等價于 0＜x²＜1，∴

1

x2

∈（1，+∞），所以，k²≤1．
綜合以上得k∈[-1，1]即為所求的取值范圍．