Question

如圖，直三棱柱中，AB=BC，，Q是AC上的點，AB₁//平面BC₁Q.

（Ⅰ）確定點Q在AC上的位置;
（Ⅱ）若QC₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為，求二面角Q－BC₁—C的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）Q為AC的中點; （Ⅱ）二面角Q-BC₁-C的余弦值為．

試題分析：（Ⅰ）借助直線AB₁∥平面BC₁Q，利用面面平行的性質定理可知AB₁∥PQ，然后確定點Q的位置；（Ⅱ）利用空間向量的方法求解，分別求出面BC₁C的法向量為m＝(1，0，0)和 平面C₁BQ的法向量n＝(1，－，2)，然后利用向量的夾角公式計算二面角Q-BC₁-C的余弦值.
試題解析：（Ⅰ）連接B₁C交BC₁于點P，連接PQ．
因為直線AB₁∥平面BC₁Q，AB₁Ì平面AB₁C，平面BC₁Q∩平面AB₁C＝PQ，
所以AB₁∥PQ．
因為P為B₁C的中點，且AB₁∥PQ，
所以，Q為AC的中點．      
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系．

設AB＝BC＝a，BB₁＝b，則
面BC₁C的法向量為m＝(1，0，0)．
B(0，0，0)，C₁(0，a，b)，Q(a， a，0)，
＝(0，a，b)，＝(－a， a，b)．
因QC₁與面BC₁C所成角的正弦值為，
故＝＝，解得b＝a.
設平面C₁BQ的法向量n＝(x，y，z)，則
即取n＝(1，－，2)．
所以有cosám，nñ＝＝．
故二面角Q-BC₁-C的余弦值為．