Question

已知數列{a_n}滿足：a₁＝1,2^n－1a_n＝a_n－1(n∈N^*，n≥2)．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)這個數列從第幾項開始及以后各項均小于？

Answer 1

（1）a_n＝()
（2）第5項

解：(1)n≥2時，＝()^n－1，
故a_n＝·…···a₁
＝()^n－1·()^n－2·…·()²·()¹
＝()^{1＋2＋…＋(n－1)}
＝()，
當n＝1時，a₁＝()⁰＝1，即n＝1時也成立．
∴a_n＝().
(2)∵(n－1)n在[1，＋∞)上單調遞增，
∴()在[1，＋∞)上單調遞減．
當n≥5時，≥10，a_n＝()≤.
∴從第5項開始及以后各項均小于.