Question

【題目】已知函數（）.

（1）寫出函數的值域，單調區間（不必證明）；

（2）是否存在實數使得的定義域為，值域為？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，若， 單調遞減； ， 遞減的；值域為.當時，在和內是單調遞增的.此時值域為.

（2）.

【解析】試題分析：

（1）由對數函數的性質可求得函數的定義域，在定義域內討論的單調性，結合對數函數與復合函數的性質可得的單調區間，同時得值域；（2）根據函數的單調性知當時有 ，可看成為方程的兩個根，且，再根據二次方程根的分布知識可得的范圍，同理時，有 ，則有，兩式相減得： ，不合題意，從而得出結論．

試題解析：

（1） ，定義域為： ，

且， ， ，則為奇函數；

當時，若， 單調遞增，則單調遞減；同理， ， 也是遞減的；此時值域為.

當時， 在和內是單調遞增的，所以是單調遞增的.此時值域為.

（2）當，因為定義域為， 在定義域內兩個子區間上是單調遞減的，

則有 ，可看成為方程的兩個根，且，又根據，則有對稱軸，

有兩個根在，需滿足，解得： ；

當，因為定義域為， 是單調遞增的，

則有 ，則有，兩式相減得： ，不滿足題意，所以..