Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓:和圓:

(1)若直線l過點A(4,0)，且被圓C₁截得的弦長為2，求直線l的方程；
(2)設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

(1) 直線的方程為或;(2) 點或點.

試題分析：在解決與圓相關的弦長問題時，一般有三種方法：一是直接求出直線與圓的交點坐標，再利用兩點間的距離公式得出；二是不求交點坐標，用一元二次方程根與系數的關系得出，即設直線的斜率為k，直線與圓聯立消去y后得到一個關于x的一元二次方程再利用弦長公式求解，三是利用圓中半弦長、弦心距及半徑構成的直角三角形來求．對于圓中的弦長問題，一般利用第三種方法比較簡捷．本題所用方法就是第三種方法．
（1）直線過點，故可以設出直線的點斜式方程，又由直線被圓截得的弦長為，根據半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理，求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到一個關于直線斜率的方程，解方程求出值，可求直線的方程．
（2）與（1）相同，設出過點的直線與的點斜式方程，由于兩直線斜率為1，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，得到一個關于直線斜率的方程，解方程求出值，代入即得直線與的方程．
試題解析：(1)由于直線與圓不相交，所以直線的斜率存在，設直線的方程為，圓的圓心到直線的距離為，
因為直線被圓截得的弦長為，
，
即或，
所以直線的方程為或   （5分）
(2)設點滿足條件，不妨設直線的方程為，
則直線的方程為，因為和的半徑相等，及直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，所以圓的圓心到直線的距離和圓的圓心到直線的距離相等，
即   （8分）
整理得：即，因為的取值有無窮多個，
所以   （12分）
解得
這樣點只可能是點或點.
經檢驗點和滿足題目條件．   （14分）